Freizeitprobleme

Ich stand gestern beim Abwasch und mir beim Einlassen des Wasser (und Spielen mit dem Spüllappen) ein schönes Problem eingefallen. Ich habe versucht, mit dem Lappen Wasser aufzufangen. Natürlich wird das Wasser durch den Stoff durchgelassen, aber dennnoch hat sich einiges gehalten. Ich habe mich dann gefragt, welches Volumen (an Wasser) man wohl höchstens mit einem Tuch bestimmter Größe halten kann. Das Ganze lässt sich vielleicht noch ein bisschen mathematischer formulieren (wobei sich sicherlich auch daran noch optimieren lässt):

Gegeben sei eine ebene beschränkte Fläche. Diese soll so im Raum geformt werden, dass sie ein möglichst großes Volumen \Omega umschalt. Dabei meint "umschalen", dass für jeden Punkt auf dem Rand \partial\Omega des beschränkten Volumen \Omega gilt, dass dieser entweder auf der gegebenen Fläche liegt, oder Teil einer festen, frei definierbaren Ebene im Raum ist.

Man kann sich das auch anders herum vorstellen: Wie groß muss das Laken sein, dass ich benötige, um ein bestimmtes Möbelstück komplett (also ringsum bis zum Boden) abzudecken?
Ein paar Sachen sind hierzu noch anzumerken. Zunächst ist anzumerken, dass die Form der Fläche frei wählbar ist. Es kann also ein Kreis, ein Quadrat, ein beliebiges Rechteck, Dreieck, Viereck, Polygon oder sonstiges gerade oder krummlinig berandete Gebiet in der Ebene sein. Es MUSS allerdings zusammenhängend sein - also nicht mehr als eine Fläche!
Außerdem muss die Fläche in der (zunächst) in der Ebene liegen, darf also keine irgendwie gearteten Beulen oder ähnliches aufweisen.
Weiter ist die Fläche, wenn sie als "Laken" verwendet wird, als inkompressibel anzusehen. Das bedeutet, dass man sie weder (lokal) dehnen kann, um ein besseres Volumen hinzubekommen (wie eine Gummihaut oder so), noch kann man sie (lokal) schrumpfen, um "Beulen" oder ähnliches hinzubekommen. Was erlaubt sein soll, ist, Kanten zusammenzukleben. Wenn sich also beim "Falten" des Tuches zwei freie Kanten berühren, dann werden diese zur Bildung des eingeschalten Volumens kurzerhand zusammengeschweisst. Es ist hierfür keine Klebelasche oder ähnliches (wie beim Basteln;-) ) notwendig.

Nun ist noch zu überlegen, wie das eingeschlossene Volumen zu bewerten ist. Gefragt ist ja nach der Faltung, die zu einem maximalen Volumen führt. Es ist aber auch klar, dass das maximal erreichbare Volumen immer größer wird, je größer man die verwendete Fläche macht. Um diese Freiheit sinnvoll einzugrenzen, muss man das eingeschlossene Volumen immer in Abhängigkeit der verwendeten Fläche bewerten. Man kann dazu zum Beispiel den Flächeninhalt der verwendeten Fläche auf 1 festsetzen. Eine andere Möglichkeit wäre, den Quotienten aus eingeschaltem Volumen und verwendetem Flächeninhalt zu bewerten. Dieser Quotient wäre gleichbedeutend mit der Höhe des geraden Prismas, dessen Grundfläche die verwendete Fläche und dessen Volumen das umschalte Volumen ist.

Nachdem diese Grundlagen nun hinreichend geklärt sein sollten, hier ein paar Überlegungen zur Lösung:
In Sachen Volumen-Oberfläche-Quotient schneidet die Kugel am besten ab. Das Volumen ist \frac{4}{3}\pi r^3, die Oberfläche 4 \pi r^2. Wenn man die beiden durcheinander teilt, kommt man auf \frac{r}{3}. Beschränkt man weiter die verwendete Fläche auf 1, so ergibt sich 4 \pi r^2 = 1 <=> r = \sqrt{\frac{1}{4\pi}}. Somit ist das relative Volumen v_{rel} = \frac{1}{6\cdot \sqrt{\pi}} \approx 0.094... .
Ist das jetzt gut? Hierbei hat man noch nicht den Vorteil ausgenutzt, dass nicht das gesamte Volumen umschlossen werden muss. Wie sieht es denn zum Beispiel mit einer Halbkugel aus?
Weiter stellt sich die Frage, wie ist die Form der verwendeten Fläche zu wählen, um eine Halbkugel möglichst gut annähern zu können? In angesicht dessen, das keine echten Rundungen herbeigeführt werden können, ist es vielleicht gar nicht das Beste, eine Halbkugel annähern zu wollen. Aber was dann?
Ich denke, ich werde mich die nächsten Tage noch ein bisschen mit diesem Problem beschäftigen (man hat ja sonst keine). Vielleicht komme ich noch auf ein paar gute Ideen. Bis dahin wünsche ich mal viel Spaß beim selber überlegen (macht sowieso keiner, ich weiss ....).

MfG
ich

P.S.: Hehe, mir ist gerade aufgefallen, dass die mathematischen Darstellungen ungewollt kryptisch geworden sind. Ich hoffe, der geneigte Leser sieht sich in der Lage, diese an LaTeX angelehnte Schreibweise korrekt zu interpretieren ^^
Viel Erfolg!